?

Log in

No account? Create an account
"Хеломскiя Вѣдомости"
Самые классические хохмы с полным и немедленным разоблачением
Первый урок для гуманитария 
13th-Nov-2017 05:56 pm
Хахам

Что такое числа

Залудив базар на пару сотен комментов, решил попробовать за оный базар ответить хоть частично и привести пример того, как и что я рассказывал бы "гуманитариям" и будущим строительным рабочим. Условно говоря, года за 3-4 до окончания средней школы (это уж где какой класс получится). И уж начинать, так с яйца, - что такое числа и откуда мы знаем, как с ними обращаться.



1,2,3,4,5, ... 100, 101, 102, ... - что это такое? Откуда взялись эти числа? Кто рассказал нам, как выполнять арифметические операции с этими числами? почему от них есть польза, и зачем придумали ещё какие-то числа (ноль, отрицательные, дроби, ... ) и всякий раз бывало мало?

Начнём с очевидного замечания. Значки, которыми мы пользуемся (а также соответствующие слова "один", "два", ... "сто пять"), есть имена чисел. Эти имена не совсем произвольны, как не совсем произвольны человеческие имена (состоящие из фамилий, отчеств, дедчеств, двойные-тройные и т.д.). Например, римские обозначения I,II,III,IV, ... XL, ... MMXVII, ... - суть другие имена для тех же самых объектов, образованные по другим правилам, но суть от этого не меняется: и средневековый монах, и современный бухгалтер пользуются разными именами для одного и того же.

Так что вопрос, что такое (натуральные) числа, не решается "перечислением с многоточиями" и туманным "и так далее" в конце. Как далее? куда?

(Натуральные) числа реализуют идею счёта, которая (для начала) подразумевает возможность группировки объектов окружающего мира по принципу "похожести". Если вдуматься, то в (макро)мире нет двух одинаковых предметов: все люди разные, все яблоки разные (если как следует приглядеться), все мамонты разные. В таком мире никакой идеи счёта никому в голову не придёт: опиши достаточно детально то, что ты имеешь в виду, и будет у тебя единственный предмет, удовлетворяющий описанию. Иванов Иван Иванович, род. 01.01.2001 в дер. Ивановка Ивановской области... А если он один такой, то чего его считать? Для того, чтобы начать что-нибудь считать, надо сначала научиться забывать (или не замечать) различия между объектами. В разумной, конечно, мере. Первобытного охотника, может, и можно было бы попробовать уговорить, что существует такая категория, как "трофей", но вряд ли он согласился бы, что трофей-крыса и трофей-мамонт - трофеи в одинаковой мере.

Но предположим, что мы эту проблему решили, зафиксировали какое-то множество (увы и ах, без этого слова трудно разговаривать за математику; если хотите, мы к этой теме ещё вернёмся) объектов, которые мы считаем однородными, одинаковыми, взаимозаменимыми, ... - с единственным условием, что "считаем" в данном контексте означает согласие всех: с какого возраста можно считать эмбрион человеком, - вопрос, ответ на который влияет на подсчёт населения страны, помимо всего прочего. Что же такое "считать", что такое "число"*? Один из возможных ответов состоит во внимательном рассмотрении процесса счёта. Пастух загоняет своё стадо в загон, стоит и - что он делает? Как только мимо него проходит овца, он загибает палец (вариант: выдёргивает волосок из бороды, делает зарубку на палочке, добавляет камешек в кучку....). Овца прошла - добавили зарубку. На этом, самом простом и базовом языке, числа очень просто именовать: |, ||, |||, ||||, ... ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||, ...

И всё. Ничего больше, кроме зарубок, у нас нет. Крутитесь как хотите. Единственная операция, которую можно проделывать с такими, с позволения сказать, числами, - это добавить ещё одну зарубку. И ещё одну. И ещё... Никаких сложений-умножений, никаких делений, - принцип живой очереди: "следующий, проходите". За каждым "заруб-числом" идёт единственное следующее "заруб-число", полученное добавлением зарубки. Что мы знаем про очереди? (б. советские граждане, не волнуйтесь). Два правила: (1) в любой очереди есть первостоящий, который не следует ни за кем, и (2) каждый, кто стоит в очереди, рано или поздно дождётся своего часа: переходя по команде "Следующий!" от первостоящего, рано или поздно мы доберёмся до любого члена очереди. Первостоящего будем называть Единицей и обозначать именем 1.

Очевидны ли эти правила? отнюдь нет. Можно себе легко представить семь человек, каждый из которых точно знает, за кем он стоит, но очередь закольцована, в ней нет "первостоящего". И будут они двигаться по кругу вечно. Пример не вовсе идиотский: в компьютерах с целой арифметикой, прибавляя единицу за единицей, мы возвращаемся к исходному значению. А теперь представьте себе, что такая карусель крутится рядом с "правильной" очередью: ясно, что до несчастных очередь не дойдёт никогда. Так что наши правила очереди отнюдь не единственные возможные, и мы их проговариваем вслух, чтоб не было потом недоразумений, не зря.

Как только мы выстроили наши ещё малознакомые объекты в очередь в соответствии с упомянутыми правилами, мы тем самым ввели между ними отношение порядка, <,  которое удобно ещё и переворачивать до >. Мы пишем a < b, если a стоит в очереди перед b**. Всю пользу от этого мы узнаем позже, когда начнём затыкать дырки во множестве рациональных чисел (дробей). А пока надо разобраться с операциями, из которых наиважнейшей является сложение. Как, глядя на очередь из натуральных чисел, организовать их сложение?

Проще всего складывать с Единицей. Если ваш нумер n в очереди (напомню, n - это имя), то n+1 (плюс Единица) - имя того, кто следует за вами. Вопросов вроде бы нет?

А как складывать с Двойкой? а ты кто такой, Двойка, спросим мы? Двойка - следующая в очереди за Единицей. Справедливо будет, если прибавление Двойки есть прибавление Единицы, а потом ещё раз прибавление Единицы. Два раза вперёд в смысле номерков (назад в смысле очереди).

Это уже повод для обобщения. Как складывать с числом Много? да нет ничего проще! Много стоит в очереди за кем-то, кого мы назовём Нетакмного. Предположим, что прибавить Нетакмного мы уже умеем (если нет, - значит, Много оказалось СлишкомМного). Чтобы в таких условия прибавить Много, надо прибавить Нетакмного, а потом прибавить Единицу (т.е., взять следующего в очереди). Подобную инструкцию уже можно оставлять любому служаке, следящему за порядком. Определение есть. Что мы можем сказать про процедуру сложения, определённую таким полицейским образом? Оказывается, немало.

Ну, например, мы можем вычислить, сколько будет 2 + 2. Но сначала надо понять, что это такое. Чтобы не было ощущения, что мы переливаем из пустого в порожнее, давайте переименуем наши числа в новые имена, ни с какими числами не ассоциирующимися. Поскольку имя для единицы мы уже зафиксировали, следующим за единицей назначим Ваню, за Ваней Петю, за Петей Колю, за Колей Изю... есть надежда, что для наших целей пока хватит. Мы должны вычислить, чему равно Ваня + Ваня. Прибавлять Ваню мы пока не умеем, но поскольку прибавление единицы есть переход к следующему в очереди, то имеем следующую таблицу: 1+1=Ваня, Ваня+1=Петя, Петя+1=Коля, Коля+1=Изя. Чтобы прибавить Ваню, надо сначала прибавить 1 (см. таблицу), а потом ещё сдвинуться на 1 в очереди. В результате имеем: 1+Ваня=Петя, Ваня+Ваня=Коля, Коля+Ваня = Изя... Стоп! Мы получили ответ: Ваня + Ваня = Коля. А поскольку в миру Коля известен как 4, мы совершили первое вычисление и доказали, что 2+2=4. Шампанского!

На этом Шахерезаду призвали к исполнению семейных обязанностей, но продолжение непременно воспоследует, с учётом пожеланий читателей. Математики, конечно, распознают аксиоматику Пеано, интересно мнение гуманитариев. Если заумно получается, то я плюну...


Теперь мы можем доказать нашу первую теорему: a + b = b + a.

Начнём с более простой версии, докажем, что n+1 = 1+n. То, что стоит слева, описать совсем просто: надо взять, изобразить зарубками число n и добавить ещё одну зарубку справа, означающую следующее за n число. То, что стоит справа, - результат долгого процесса: надо начать с одной зарубки, изображающей 1, и по одной добавлять зарубки, означающие переход к следующему числу, ровно n раз, т.е., добавить в общей сложности n зарубок. Но это то же самое, что взять n зарубок и добавить к ним одну слева! Глядя на число ||||||||||||||||||||||||||, мы не можем сказать, получилось ли оно добавлением зарубки справа или слева к числу |||||||||||||||||||||||||... Эта неразличимость и доказывает нашу формулу n+1 = 1+n.

Понять общий случай теперь совсем легко: n+m есть число, полученное из n добавкой m зарубок справа, а m+n - полученное из n добавлением тех же самых m зарубок слева. Понятно, что эти два числа одинаковы.

Ффффу. Полдела сделано, у нас есть сложение. Осталось объяснить, что такое умножение чисел. К счастью, у нас уже есть в запасе трюк, который позволяет описать умножение, как несколько раз повторённое сложение, точно так же, как сложение мы описали, как результат повторного выполнения команды "Следующий!". Итак, определяем операции при помощи двух правил:
  1. Умножение на единицу не меняет ни одно число, n*1=n;
  2. Чтобы умножить n на (m+1), надо вычислить n*m и прибавить n: n*2=n+n, n*3=n*2+n=n+n+n, n*4=n*3+n=n+n+n+n, ...

Такое определение позволяет рано или поздно добраться до умножения на любое число.

Какие свойства будут у такой операции? Сравнительно легко сообразить, что для любых трёх чисел n*(m+p)=n*m+n*p. Почему? да потому, что когда мы запишем обе части в виде сумм разного количества букв n, число слагаемых будет одинаковым в обеих частях равенства. (Можно пригласить искусного гравёра, который вместо зарубок на нашем прутике будет вырезать букву n).

Немного сложнее доказать, что произведение чисел перестановочно. Конечно, можно это проверить для чисел из первого десятка (Один, Ваня, Петя, Коля, Изя, ...), заполнив таблицу умножения. Попробуйте-ка, кстати, сделать это на практике, учитывая, что какое-нибудь число 27 должно получить своё уникальное имя, - Афиноген или там Жан-Батист, если от этого легче. Тогда поймёте мучения первоклашек. Но в любом случае надо делать что-то с большими числами: если надо умножить 10-значное число на 15-значное "в столбик", как учили, то понадобится лист бумаги, заполненный вычислениями. Если теперь вычислить произведение в обратном порядке, вычисления тоже будут удручающие, но совершенно другие: все промежуточные вычисления будут совершенно разными, а вот когда мы всё сложим, мистическим образом окажется, что окончательные ответы совпали (если по дороге нигде не проврались). Так что же такое коммутативность умножения натуральных чисел? Экспериментальный факт? теорема? аксиома?

Давайте вместо зарубок на прутике изображать числа одинаковыми монетами, которые можно выкладывать на стол. Можно их выкладывать в виде ряда, и тогда они ничем не будут отличаться от зарубок. Но можно и по-другому выкладывать, например (если получится) прямоугольниками. Почему "если получится"? а попробуйте выложить в виде прямоугольника 5 или 17 монет ;-) придётся заранее согласиться, что ряд - это такой прямоугольник, просто очень узенький.

Оказывается, эта маленькая хитрость помогает понять, почему умножение коммутативно. Начнём с очевидного: 1*1=1. Почему сумма n+n+n+... (m раз) равна m+m+m+... (n раз)? Первая сумма означает, что общее число монет может быть выложено в "столбики" (вертикальные линии) высотой n и числом m штук. Вторая сумма означает, что общее число монет может быть разложено в "строчки" (горизонтальные линии) длины m и числом n штук. Обе конфигурации можно представить себе прямоугольниками, отличающимися друг от друга поворотом на 90 градусов, значит, и число монет в этих прямоугольниках одинаково. Итак, утверждение, что умножение целых чисел коммутативно - теорема.

_________________________________________________________________

*Математик скажет, что "число" - это класс эквивалентности конечных множеств относительно взаимно-однозначных отображений. Будет прав, но что с этого школьнику?

** Поскольку, считая от единицы, можно досчитать до любого числа, и ни одно число при счёте не повторится, для любых двух разных чисел a,b верно одно и только одно высказывание из двух: "считая от a, можно досчитать до b" или считая от b, можно достчитать до a".


♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже comment count unavailable таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Comments 
13th-Nov-2017 04:40 pm (UTC)
Да, в природе нет одинаковых яблок. Вот это-то меня всегда удивляло в математике - полное абстрагирование от реальности, которое как-то сочетается с практической полезностью.
13th-Nov-2017 05:00 pm (UTC)
Одинаковых нет, но яблок есть..)
13th-Nov-2017 04:45 pm (UTC)
>И всё. Ничего больше, кроме зарубок, у нас нет.

Попробую со стороны гуманитария возразить. Мы эти зарубки сравнить можем. Там, где больше, там и множество мощнее. А если дальше, про закольцованность, так мы ещё можем подобия установить, разделив на закольцованные и незакольцованные. Разумеется, можем количество измерений увеличить и там в подобиях покопаться. Можем почаще попробовать зарубки ставить, если стадо большое, а палка ограничена, потом шершавость разных палок потрогать и попробовать сравнить, одно ли стадо посчитано или разные. Да много чего можно, а вы - ничего.
13th-Nov-2017 05:17 pm (UTC) - ну, я примерно это
(с индуктивным доказательством коммутативности) как раз две недели назад рассказывал математическим семиклассникам, но всем?! может, лучше объяснить, что такое одна треть и почему она меньше одной второй на одну шестую?
14th-Nov-2017 05:22 am (UTC) - Re: ну, я примерно это
>>> лучше объяснить, что такое одна треть и почему она меньше одной второй на одну шестую?

Это на следующем уроке.

>>> с индуктивным доказательством

Я стараюсь не злоупотреблять индукцией и прячу её за простые "правдоподобные соотношения". См. отредактированную версию текста.


Edited at 2017-11-14 01:41 pm (UTC)
13th-Nov-2017 05:27 pm (UTC)
Профессор, конечно не плюйте, и вовсе даже не заумно! Пан, не плюйте, здесь чисто (с).
И не переживайте, когда умничать начнём мы, ораторы. Настоящий гуманитарий попробует срезать уесть вас Аристотелем - имена, де, имеют значение лишь в силу соглашения, в природе же нет никакого имени. Или попытается ошибочно втянуть слово "число" в понятие "множество", хотя бы и через смутно ощущаемую гуманитарием "мощность" двигателя множества.
Будьте к нам терпимы, не оставляйте и не убирайте ладоней со лба etc, - может, хоть теперь начнём соображать, что к чему. Благое дело же:).
13th-Nov-2017 06:12 pm (UTC)
Вы замечательно рассказываете, как всегда - удовольствие читать, спасибо. "Аффтар, пеши исчо!", и побольше, побольше. Только вот беда - я, увы, не гуманитарий и, скорее всего, не будущий строительный рабочий. Мне так нравится Ваша запись, потому что у меня какая-никакая склонность к этим штуковинам, ну, и стиль просто отличный, и план. Да и Вы, к большому сожалению (а с другой точки зрения - совсем наоборот) - далеко не средний учитель математики в плохой средней школе. Если этот материал станет рассказывать средний учитель в плохой школе, и не нам, а ученикам безо всякой склонности к подобным материям, то в большинстве случаев это будет неэффективно. Мы склонны судить по себе, читающим Ваши записи, так что нам может даже трудно себе представить, как "то же самое" может быть жестоким и бессмысленным мучением невинных людей.
14th-Nov-2017 07:58 am (UTC) - +100500
Anonymous
Полностью поддерживаю, но т.к. я имею некий опыт работы с учителями, то хочется уточнить: средний учитель плохой школы расскажет все это настолько неправильно, что его старательные ученики выйдут с уроков с совершенно искалеченной интуицией (остальные ученики все равно учителя не слушают, т.ч. на них никакого влияния такого рода нововведение не окажет). В результате будет "хотели как лучше, а вышло как всегда". ИТ
Re: +100500 - Anonymous - Expand
RE: Re: +100500 - Anonymous - Expand
13th-Nov-2017 06:19 pm (UTC)
как строительный рабочий требую продолжениея банкета
13th-Nov-2017 06:36 pm (UTC)
Anonymous
Ввели зарубки, они же позиционное счисление с основанием 1, и сразу бежать к аксиомам Пеано, не отжав зарубки.

Например складывать зарубки можно очень даже неплохо, простой конкатенацией, она же слияние строк.
14th-Nov-2017 01:49 pm (UTC)
Можно.
(no subject) - Anonymous - Expand
13th-Nov-2017 06:49 pm (UTC)
Я споткнулся о первую фразу абзаца, начинающегося словами "Натуральные числа..." По-моему, такую фразу показывать детям нельзя: ребёнок, даже если и поймёт её, дальше читать не захочет. А поскольку гуманитарии, как мусорá, могут быть приравнены к студентам и детям, то, может быть, её -- и другие похожие -- подредактировать?

P.S. Кстати. А если бы ребёнок спросил: четвёртый это по счёту абзац, пятый, шестой или седьмой? Не совсем ясно, ответ подтвердил бы этот абзац -- или наоборот, вступил бы в противоречие с ним.
15th-Nov-2017 01:36 pm (UTC)
>>> может быть, её -- и другие похожие -- подредактировать?

Написанный текст не претендует ни на какую законченность или окончательность. Скорее, это пробный выстрел, - посмотреть, как разные люди реагируют на подобную манеру изложения. Так сказать, откалибровать, какой боеприпас заряжать.

Изложение рассчитано не на детей малых, которые учатся считать и мучаются, запоминая таблицу умножения (см. отредактированный текст), а на тех, кто махнул рукой на то, что никогда не поймёт, что же такое математика и зачем она нужна.

Бывают и ошибки "в другую сторону", см. например.
13th-Nov-2017 07:55 pm (UTC)
А есть ли в планах подобное определение умножения? С последующим доказательством его коммутативности, а также распределительного (дистрибутивного) закона?
13th-Nov-2017 11:07 pm (UTC)
Anonymous
Пожалуйста, вот определение: чтобы умножить Несколько на Единицу, ничего делать не надо, Несколько и получится. А чтобы умножить Несколько на Много, нужно сначала умножить Несколько на Нетакмного, а потом прибавить тому, что получилось, еще Несколько. Доказать коммутативность можно в два шага, сначала индукцией по n коммутативность 1*n=n*1, а потом индукцией по m коммутативность m*n=n*m. Дистрибутивный закон аналогочно.
(no subject) - Anonymous - Expand
13th-Nov-2017 08:45 pm (UTC)
Anonymous
"математик скажет"

протестую! всякому школьнику должно быть известно, что "числа" — это начальный объект в категории диаграмм 1 ---> А ---> А.
13th-Nov-2017 08:49 pm (UTC) - Почему надо чего-то доказывать?
Под конец Вы уж точно всё испортили. Почему надо чего-то доказывать? И так ясно, что a + b = b + a. Лучше вообще не употреблять понятие доказать. Вместо этого лучше "показать" т.е. построить такую конструкцию, где всё нужное ясно видно. Примерно, как теорему Пифагора "показывают" через равносоставленность.
13th-Nov-2017 08:53 pm (UTC)
Anonymous
Я бы сначала доказал, что 2+2=4.

alevaj
13th-Nov-2017 09:01 pm (UTC)
Anonymous
да и кстати.

"в любой очереди есть первостоящий"

ай. не лучше ли начать с очереди, в которой нет совсем-совсем никого? с ней как-то проще жить потом. не во всяком загоне есть овцы.
14th-Nov-2017 09:11 am (UTC)
В совке такие очереди проходили по разряду невозможных в реальности абстракций.
(no subject) - Anonymous - Expand
14th-Nov-2017 02:59 am (UTC)
правильно ли я понимаю (я - тупой гум.), что отталкиваемся от понятия отображение, что на ("относительно") этой зеркальности (множество-исходник ÷ отображение) строится эквивалентность? (тождество? - или это из др. оперы?)
спасибо!
21st-Nov-2017 09:18 am (UTC)
Тупым математикам трудно понять, что Вы имеете в виду.:)
14th-Nov-2017 06:41 am (UTC) - В детстве попадалась очень интересная и красочная кни
А пока ваши рассуждения вызвали у меня ассоциацию с мультиком про то, что такое куча. Один это куча? А два, а три?
Автор сценария забыл про правила русского языка:
один шар (им. п. ед. ч.)
два шара (род. п. ед. ч.)
три шара (род. п. ед. ч.)
четыре шара (род.п.ед.ч.)
пять шаров (род.п. МН.ч.) так вот с чего начинается куча!
Вот такая ассоциация с вашими рассуждениями.
14th-Nov-2017 08:43 am (UTC)
...восемнадцать тысяч триста один шар...
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
This page was loaded Sep 17th 2019, 4:12 am GMT.