О выпуклостях где надо и где не надо

Проф. Ж. Квадратман
(Хеломская Городская Ешива)

В связи с потоком писем в редакцию с просьбой прокомментировать недавнее назначение проф. П. Кругмана нобелевским лауреатом по экономике, редакция публикует научно-популярную статью проф. Ж. Квадратмана, который когда-то в молодости был знаком с самим Канторовичем и с тех пор считает себя крупным специалистом по нобелевским премиям и экономике. Итак, слово профессору...


Едва ли не самым важным понятием, которое в 20 веке вошло в экономику, было понятие выпуклости; как и очень многое другое, оно было введено Джоном фон Нойманом (фон Нейманом в русской литературе), одним из наиболее оригинальных и разносторонних математиков. Выпуклость можно интерпретировать самыми разными способами, начиная от "неограниченной делимости" экономических сущностей и кончая "лотереей", как предлагал сам фон Нойман. Например, модель производства по фон Нойману ("технология") есть множество допустимых пар в -мерном пространстве , интерпретируемых как возможность произвести из набора "продуктов" набор "продуктов" (продукты понимаются в максимально широком смысле, включая труд и загрязнение окружающей среды). Выпуклость множества есть возможность "аутсорсинга": производитель может разбить свои ресурсы x на две части, и , и перепоручить двум другим "производителям", обладающим той же самой технологией , произвести два вектора и , после чего сложить их обратно. Поскольку технологическое множество у субподрядчиков то же самое, постулировать выпуклость есть то же самое, что утверждать, что за счёт субподряда невозможно добиться ничего нового.

Другой пример связан с системой предпочтений. Предположим, что некто умеет сравнивать между собой различные наборы продуктов в при помощи частичного или полного отношения порядка , выбирая, что для некта лучше, а что хуже. Предположим, в результате эксперимента выяснилось, что для некоторых трёх наборов некто решил, что и . Можно ли в этом случае утверждать, что ? Аргумент фон Ноймана: да, вот почему. Третье сравнение можно интерпретировать, как лотерейный билет с равновероятным выигрышем одного из двух вариантов. Поскольку каждый из них для некта лучше, чем , некто находится в состоянии win-win, и не имеет оснований отказываться поменять на такой лотерейный билет.

Короче, выпуклость оказывается предельно естественным предположением при анализе экономического поведения. Более того, в некоторых ситуациях (например, игровых, или неатомических) выпуклость появляется там, где её априори не было. Математически это иллюстрируется теоремой Ляпунова о выпуклости множества интегралов векторнозначных мер, а за экономический анализ этого явления в разных проявлениях получил нобелевку Боб Ауманн три года назад. Разумеется, любое теоретическое предположение имеет границы применимости. Например, некту может быть всё равно, чай или кофе, лишь бы не молоко, но смесь чая и кофе в одном стакане некто с негодованием выплеснет и выпьет-таки молоко (или вообще ничего пить не будет). Аналогично с процессом производства, особенно если модель технологии K не замкнута (не полна): если вы печёте картошку на приусадебном костре, то загрязнением окружающей среды можно пренебречь, но если производить её таким способом в промышленных масштабах, то это предположение уже неприменимо и надо как-то тратиться на очистные сооружения. Тем не менее всякий раз отклонение от невыпуклости должно быть специально мотивировано: если некто собирается строить модель, вообще ничего конкретного не предполагая, то условие выпуклости является thumb rule.

С другой стороны наличие выпуклости приводит к тому, что экономические модели демонстрируют крайне "правильное" (регулярное, хорошо предсказуемое, устойчивое) поведение. Поскольку вся экономика пронизана вариационными принципами типа "максимизации выгоды" (подобно классической механике, теории поля, термодинамике и т.д.), это довольно легко понять. Минимизация выпуклой (соотв., максимизация вогнутой) функции - хорошо обусловленная задача, имеющая почти всегда единственное решение, устойчивое к изменениям параметров. Чуть более продвинутый пример есть минимизация интегралов. Пусть - фиксированный интервал времени, - лагранжиан, выпуклый по совокупности переменных . Рассмотрим вариационную задачу, скажем, с фиксированным левым и свободным правым концом:
,Вопрос в том, как будут вести себя экстремали в пределе при . Ответ следующий (при неких предположениях о росте лагранжиана на бесконечности): пусть есть решение статической экстремальной задачи , т.е., состояние "наиболее выгодного стационарного режима". Тогда при больших оптимальная траектория выходит из и подходит к вдоль некоторой вполне определённой траектории, полностью детерминированной начальным состоянием , почти стационарна вплоть до самого конца , а перед самым концом съезжает в сторону ("после нас хоть потоп"). Для желающих гамильтоново объяснение: пусть - ковектор ("цены") и гамильтониан. Тогда экстремали суть траектории соответствующей гамильтоновой системы. Но точка , где - седловая для , и соответствующие инвариантные многообразия лагранжевы и трансверсальны друг другу, так что "долгоиграющая" экстремаль входит почти в седло вдоль устойчивого многообразия, стоит возле седла и выходит из этого транса только под конец вдоль неустойчивого многообразия. Аналогичный эффект имеет место и в случае т.н. технологической модели (фон Нойманн - Гейл), соответствующей экстремальной задаче вида.Разница в том, что вместо стационарного "режима золотого века" роль предела при больших играет экспоненциальная траектория вида с "темпом роста" , определяемым только технологией и не зависящим ни от начального состояния , ни от конкретного выбора (т.н. магистральный эффект, turnpike property).

Все эти замечательные и не слишком сложные теоремы появились в 50-е - 70-е годы и вызвали всплеск интереса к т.н. "неоклассической" экономике, которая вот-вот (как тогда казалось) встанет в один ряд с механикой, термодинамикой и прочими "точными" науками. При этом очевидным "недостатком" выпуклой теории было именно её "стабильность", поскольку наблюдаемое поведение совершенно не столь устойчиво.

Наиболее серьёзные экономисты (Касс, Шелл, Болдрин, Монтруккьо) стали размышлять над реальными причинами "неидеальности поведения" и пришли к выводу о неправомерности perfect foresight в принципе наименьшего действия: в интегральном функционале начальные и конечные сегменты промежутка играют одинаковую роль, хотя это очевидно не так для любого "игрока-производителя": лучше маленькие и по три, но сегодня, чем большие и по пять, но завтра. Математически это описывается при помощи введения фактора дисконтирования: вместо стационарного интегранда рассматривается задача "взвешенной оптимизации"Появление дисконтирования разрушает красивую гамильтонову картинку. При малых всё ещё можно рассматривать ситуацию методами теории возмущений (структурная устойчивость седла на первых порах спасает), но пpи увеличении ("бОльшей жадности/близорукости") теряется очень многое, в частности, при нереалистически больших значениях дисконтирования можно даже в классе выпуклых моделей соорудить нечто вполне хаотическое.

В этом месте проф. Квадратман сознаётся, что он перестал следить за дальнейшим движением экономической мысли, главным образом, по следующией причине. Есть разные классы "неоклассических" (т.е., формулируемых в относительно простых математических терминах и в основном детерминистских, в крайнем случае, марковских) моделей для процессов производства, есть (в основном, игровые, коалиционные или некоалиционные) модели (пере)распределения, - "рынки", и есть (какие-то совсем стохастические с психологическим уклоном) модели накопления (включая страхование, фьючерсы, перепродажу рисков и пр.). Нет и не предвидится разумной модели, включающей все три компоненты, а без неё никакой предсказательной силы у математической экономики нет и не может быть (есть эмпирические/феноменологические модели, но это как предсказание погоды по ласточкам и чукчам).

И тут-то появляется на сцене проф. Кругман, со своим неисчерпаемым запасом (полу)математических игрушек. Его главный научный метод - "поиск под фонарём": если отбросить основное условие выпуклости, то требуемой неустойчивости, кажущейся иррациональности, желанной непредсказуемости и вожделенной парадоксальности поведения можно добиться в системах из двух дифференциальных уравнений на плоскости. Сделав произвольное число предположений о знаке тех или иных частных производных у вспомогательных функций (о самом существовании которых среди экономистов нет согласия), можно изготовить пищалки, кричалки, ваньки-встаньки и прочую забаву для детей. За двадцать лет проф. Кругман настрогал их столько, что под любое наблюдаемое событие можно вытащить из ящика модельку с данным поведением (парадокс стада обезьян по-нобелевски). Хорошо ещё, что Кругман ничего не слышал о КАМ-торах, а то был бы у него в запасе ещё какой-нибудь квазипериодический пример ациклического кризисного развития капиталистической экономики.

Не только выпуклость пала жертвой злодейского профессора. Например, чтобы экспоненциальный режим (выше) вообще мог существовать в системе, необходимо дополнительное предположение, что K - выпуклый конус, что означает на экономическом жаргоне constant returns to scale. Иными словами, если из тонны навоза можно извлечь литр биотоплива, то, собрав всё дерьмо в мире, можно обеспечить бензином весь первый и даже немного третий мир. Ясно, что это предложение (а) осмысленно в определённых границах, (б) снова связано с полнотой модели, (в) за этими границами теряет смысл. Как правило, нарушение случается в определённую (выпуклую, "правильную" сторону), соответствующую diminishing returns to scale. Это означат, что, увеличив затраты в 1000 раз, некто увеличивает выпуск лишь в 900 раз, поскольку требуются дополнительные затраты на инфраструктуру, очистку, градостроительство, подъездные дороги и пр., что уменьшает результативность. С другой стороны, на "малых масштабах" иногда случается противоположное: индустриальное производство, как правило, более эффективно, чем кустарное. С третьей стороны, этот переход лучше описывать как смену технологии, а не просто как "increasing returns to scale" в рамках одной и той же технологии K, иначе будет непонятно, почему вся поверхность Земли ещё не покрыта одним гигантским заводом ГигавтоВАЗ. Но для проф. Кругмана особенно ценно то, что предположив в данном месте какую-нибудь иезуитскую S-образную кривую с несколькими точками перегиба (чего? а бог весть чего, всё равно померить ничего нельзя), он получит замысловатое поведение и хорошую прессу.

Короче, экономические изыскания профессора были (и, видимо, есть) забава tenured бездельника, большую часть времени сидящего в ЖЖ пишущего колонки в New-York Times. Кстати, полистав опусы оного бездельника, проф. Квадратман с ужасом обнаружил там ссылку на работу [Lenin, 1939] (некоторые хеломские старпёры новожилы ещё помнят, когда Ильич жил, и когда приказал долго жить). При ближайшем рассмотрении оказалось, что это английский перевод книжки "Империализм как высшая стадия капитализма". В первый раз за всю свою многолетнюю практику ссылка на Ленина попалась проф. Квадратману не в работе советского учёного.

Нет, я всё понимаю про марксистов, маоистов, красных кхмеров и их французских революционных учителей, но нобелевку за такую деятельность?! помилуйте...

На этом у проф. Квадратмана иссякла желчь и желание вести дозволенные речи, а также время. Если кому-то интересны подробности, сарынь на кичку в комменты.

Update: Cited paper by prof. Krugman from J. Development Economics, 1980. Enjoy who can! :-)

Disclaimer: На фото - проф. Кругман, а вовсе не проф. Квадратман! Неужели не видно хотя бы по тому, что персонаж держит в руках New-York Times, а вовсе не "Хеломские Ведомости"!!!