{а}дон Хахам (xaxam) wrote,
{а}дон Хахам
xaxam

Долой Архимеда!

Жемчужну кучу разрывая... ©

Просматривая свежие статьи в arXiv'e, натолкнулся на интригующий заголовок, полез посмотреть, и увяз на добрых полтора часа, не мог оторваться. Вот вам задачечка "для младшеклассников".

Докажите, что квадрат нельзя триангулировать (разрезать) на нечётное число равновеликих треугольников. (Это называется "Теорема Monski").

Решение (совершенно нетривиальное, и требующее введения 2-адических чисел) - здесь, скажем (видимо, курсовая работа, но хорошо написанная).

У этой задачи есть продолжение. Возьмём произвольную точку внутри квадрата (или параллелограмма, это неважно) и разрежем квадрат на четыре треугольника вдоль отрезков, соединяющих эту точку с вершинами. Обозначим площади треугольников (в порядке перечисления по часовой стрелке) A,B,C,D.

Элементарная задача: доказать, что A-B+C-D=0, где бы ни была выбрана пятая точка.

Возьмём теперь две произвольные точки внутри квадрата, и разрежем квадрат на 6 треугольников с вершинами в этих двух точках (и четырёх вершинах квадрата). Обозначим площади треугольников через A,...D,E,F.

Теорема: существует многочлен 2-й степени от 6 переменных A,...,F, который обращается в нуль независимо от выбора двух внутренних точек.

Теперь легко угадать, как выглядит обобщение на самый общий случай: для каждого заданного "комбинаторного типа" (тут надо потрудиться объяснить, что это такое, см. рис.) разрезания существует многочлен с целыми коэффициентами от нужного числа переменных, который тождественно обращается в нуль при подстановке в него площадей треугольников, полученных в результате разрезания.

Удивительно, конечно. Похоже, эта теорема - как Пасхальная Агада: в каждом поколении математики переоткрывают для себя эти поразительно красивые связи между элементарной геометрией и теорией чисел.

Чуть-чуть интриги. В греческой аксиоматике "чисел"-отрезков присутствует аксиома Архимеда: для любых двух нетривиальных отрезков I и J всегда можно найти такое целое число n, что n|I| > |J| (имеются в виду длины отрезков). Эта аксиома исключает существование "бесконечно малых" чисел/отрезков, и была серьёзным препятствием на пути обоснования матана в 17-18 веках. Оказывается, можно так извратиться и определить понятие длины ("абсолютной величины"), что будут выполнены все аксиомы (включая неравенство треугольника), что аксиома Архимеда окажется невыполненной. Кажется, что такое извращение бессмысленно и должно быть уголовно наказуемо, но парадокс в том, что именно эта "длина" позволяет доказать теорему Монски (и ещё миллион разных глубоких фактов из теории чисел).

Если кому интересно продолжение, передаю микрофон коллеге Иркудскому.
Tags: математика
Subscribe

  • Не сходится с ответом

    Проверяем ответ подстановкойПишут, что в результате последней вспышки "дельты" процент (доля) вакцинированных среди отловленных позитивных…

  • Таблица умножения

    На пыльных тропинках далёких планет...Внезапно стала вновь актуальной карта минирования ковидом. Вот один любитель путешествий прошёлся по торговой…

  • Это не под силу даже Unicode

    Разгадка вековой тайныВеками культурологи ломали голову над вопросом, - почему компьютер не был изобретён на островах, которые впоследствии стали…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 41 comments

  • Не сходится с ответом

    Проверяем ответ подстановкойПишут, что в результате последней вспышки "дельты" процент (доля) вакцинированных среди отловленных позитивных…

  • Таблица умножения

    На пыльных тропинках далёких планет...Внезапно стала вновь актуальной карта минирования ковидом. Вот один любитель путешествий прошёлся по торговой…

  • Это не под силу даже Unicode

    Разгадка вековой тайныВеками культурологи ломали голову над вопросом, - почему компьютер не был изобретён на островах, которые впоследствии стали…