Очередная попытка подогнать корону по голове
Благодаря поучительным диалогам с читателями "ХВ" я, как мне сейчас кажется, запихнул-таки кусочки паззла в сколько-нибудь консистентную картину, исправляющую изъяны в стандартной SIR-модели.Всё крутится вокруг того, как выглядит процесс переноса заразы от инфицированного человека к "восприимчивому", не защищённому специфическим иммунитетом (не переболевшему, если мы верим в малую вероятность повторных заболеваний). Если обозначить всю популяцию N=S+I+R = susceptible + (currently) infected + recovered, то уравнения динамики SIR имеют вид (штрих=производная по времени).
Ś=-βSI, Í=βSI-γI=I(βS-γ), Ŕ=γI.
Сумма правых частей равна нулю, что означает, что величина N=S+I+R постоянна (пусть будет тогда единицей), поэтому система фактически двумерна и каждый может радостно рисовать её фазовый портрет. В этих закорючках закодированы два процесса: заражение и выздоровление с появлением иммунитета (мы пренебрегаем смертностью). Выздоровление описывается экспоненциальным процессом, что не очень реалистично, но пока в модели явно нет запаздывания, то и бог с ним, ничего лучше не придумаешь.
Ремарка в сторону: запаздывание можно сравнительно просто учесть, если считать, что I=I1+I2+...+In, где n - "стаж" больного в днях с момента заражения. Уже обсуждалось, там особенно много не покрутишь.
А вот процесс заражения - совершенно неочевидная штука. Во-первых, сама форма для скорости производства свежезаражённых, βSI - почему произведение? Во-вторых, откуда брать эту бету? Ответ на первый вопрос берётся из химической кинетики ("закон действующих масс). Если у вас есть в растворе два реагента, А и В, и между ними идёт химическая реакция А+В→С+D, то её скорость равна αАВ (концентрации реагентов А,В сответственно). В нашем случае А=I, B=S, C=D=I. В частности, в начальный момент эпидемии мы имеем S≈N=1 и второе уравнение становится уравнением экспоненциального роста,Í=(β-γ)I,
ужасным и беспощадным. Это то, что мы видим на начальном этапе во всех странах. Коэффициенты β-γ меняются от страны к стране, поскольку зависят от интенсивности контактов, плотности населения, "социальной дистанции" в обычной жизни (что для средиземноморского жителя - "почти невыносимая самоизоляция", то для скандинава - норма жизни).
Траектория такой системы на плоскости (I,S) (см. рис., стыренный из цитированной выше лекции) начинается в углу треугольника, взбирается наверх, а потом спускается вниз и утыкается в ось I=0, соответствующую окончанию инфекции. Максимальная высота Imax, на которую взбирается траектория, наблюдается там, где Í=0, т.е., над точкой S=γ/β. Это то самое состояние, в котором herd immunity (плюс выздоровление заболевших) останавливают эпидемию.
Что неудовлетворительно в этой модели? Величина параметра β не может быть ни слишком маленькой, ни слишком большой (ср. с начальным участком экспоненциального роста), значит, эта самая herd immunity должна достигаться тогда, когда значительная доля популяции переболела, - фольклорные цифры меняются от 30 до 70 процентов.
А это как раз то, чего мы не наблюдаем. Если верить данным, собранным в самых разных странах по самым разным методикам, разброс кажется огромным, но на самом-то деле мы видим, что "итальянская" кривая начинает загибаться вниз на 100,000 заболевших, "израильская" - на 7,000 при общем населении 60 и 10 миллионов соответственно, 0.16% и 0.08% соответственно. Разница - на 2-3 десятичных порядка.
Что делать? Надо менять теорию, и единственное место, где это кажется возможным - это уравнение, одолженное у химической кинетики. Спустимся от концентраций реагентов в растворе на уровень частиц-людей, которые тусуются промеж себя, вступают в разные контакты и заражают друг друга. Заражение есть процесс передачи некоторого количества вирусов аэрозольным или контактным путём от инфицированного на слизистую оболочку жертвы. Какого количества? На листовке Ронни Мило есть масса цифири (концентрация вируса в разных органах, что позволяет при желании рассчитать, сколько вирионов будет в капельке аэрозоля, сколько таких капелек выделяется при разговоре/чихании в минуту времени), но разброс данных там достигает 5-6 (sic!) десятичных порядков, что делает все прямые подсчёты числа вирионов в "выхлопе" больного бессмысленными. Хуже другое: совершенно ничего не известно про то, сколько вирионов надо, чтоб жертва заболела. In vitro делаются какие-то опыты, когда дозированное количество вируса смешивается с клеточной культурой и потом определяют, пошёл вирус размножаться или нет. В результате определяется доза, называемая ID50, при которой в половине пробирок вирус размножился, а в половине - нет. Разумеется, связь in vitro и in vivo - крайне условная. Но даже про эту самую дозу ID50 мы не знаем, что будет, если её проглотить не одномоментно, а, скажем, распределить в течение интервала времени (нескольких минут, часов, дней, недель, ...) - изменится ли вероятность заболеть от такой рассрочки. Народ верит (highly likely), что есть минимальная "допустимая доза", ниже которой организм не заболевает вообще (почти) никогда, и которая не "накапливается" со временем при "разумной частоте поглощения".
Так что, пока никаких биологических запретов со стороны вирусологов и иммунологов нет, можно довольно свободно жонглировать предположениями. Вот я и предположу, что люди общаются квантами ("контактами"), и есть некоторое пороговое значение ("доза вириона"), ниже которого заражения не происходит, а выше которого - происходит с вероятностью единица.
Основное предположение - за каждый контакт заразчик передаёт заражаемому лишь половину дозы, необходимой для заражения. Почему половину? для простоты объяснения (потом я попытаюсь объяснить, что нужно делать в общем случае). Тогда для заражения необходимо не один, а два контакта, достаточно близких по времени друг к другу, чтобы эти полудозы суммировались.
В терминах той самой химической кинетики, такая "реакция" соответствовала бы схеме 2I+S→3I, и соответствующий член βSI в дифференциальном уравнении SIR превратился бы в δSI2. Если кто не верит химии, - вероятность два раза выиграть по полбилета в кино в лотерее, чтоб пойти и насладиться зрелищем - произведение, сиречь квадрат.
Эта казалось бы невинная модификация совершенно радикальным образом меняет, однако, поведение модели в области малых концентраций I: I2 становится гораздо меньше, соответственно, "изоклина нуля" вместо вертикальной прямой становится гиперболой SI=γ/β и "поворот на юг" случается гораздо раньше.
К сожалению, возникает обратная проблема: при такой зависимости никакой экспоненты на начальном этапе не будет, кишка тонка у квадратичной функции победить линейную. Соответственно, нет у нас возможности для ретрофиттинга параметра δ.
Мне кажется, что реальное поведение всех этих кривых невозможно без явного учёта mitigation и прочих мер по точечному и пр. карантину. "Игрушечное описание", не претендующее на аккуратную модель, могло бы выглядеть следующим образом.
Каждый заразчик имеет довольно специальное распределение "контактов" вокруг себя. Скажем, в своём домашнем/рабочем/социальном кругу повторные контакты совершенно не являются независимыми, поэтому для тех, кто находится в этой "ближайшей сфере", вероятность заразиться по-прежнему линейная. Это то, что происходит на начальных стадиях эпидемии, когда здравслужбы раздают "рекомендательные предписания", - вернувшись из опасных мест, посидите дома две недели, на ваших домашних это не распространяется. Такой заразчик заразит опрелённый процент (т.е., линейную долю) своего ближайшего окружения, и дальше процесс пойдёт по экспоненте.
В тот момент, когда здравслужбы проснутся и поймут, что дело давно пахнет керосином, всех сажают на "самоизоляцию", а у тех, кто засветился, тестируют всех родственников. Иными словами, из уравнения распространения превентивно изымаются наиболее пропускные "линейные" каналы, а система борется с "квадратичными" хвостами, которые гораздо легче задавить. Если у вас на 50-тысячный город есть пять заразчиков, и их семьи и ближайшее окружение - под бдительным надзором и изъяты из севооборота, то "квадратичный" хвост сам собой затухнет без всяких усилий со стороны здравслужб.
Как такую "гибридную" модель записать крючками? простонародный ("генеральский") способ - разбить фазовое пространство модели (треугольник) на две части и "склеить" соответствующие системы уравнений. Одна - маленькая рядом с вершиной справа - и на ней классический SIR (а ещё проще - честная экспонента, уравнение с S=1). На остальной части (нас в основном интересует окрестность оси I=0) - написать квадратичное по I векторное поле. Где проводить границу между областями и откуда брать дельту, - х.з., надо же что-то оставить потенциальным аспирантам, буде кому захочется довести расчёт до цыферек, но умом пронзить такое генеральское решение трудно. Интеллигентный человек рассмотрит модель с запаздыванием, подберёт убедительную интерполирующую функцию, склеивающую два уравнения, и вообще наведёт порядок и станет отцом-основателем, чьим именем назовут соответствующие модели и распределения.
Если заменить предположение о полудозе на что-то более реалистическое, то тут нужна матушка-социология. Сфера общения любого человека отнюдь не равнораспределена по всем обитателям его страны (предположение, лежащее в основе химкинетической формулы). Это явно какая-то иерархическая структура, с несколькими уровнями (не факт, что дискретными) - "семья", "большая семья", "соседи", "работа", "транспорт по дороге на работу", "шоппинг", "собачья компания", ... Можно ли тут обойтись распределением, - сколько народу в какую категорию входит, или же надо строить графы и сферы в соответствующих метриках, - х.з. Я бы начал со скромной цели - построить модель, которая по порядку величины давала бы ответ, согласующийся с реальностью.
N.B. У модели с квадратичным по I членом есть ещё один фактор, который при надлежащей обработке может объяснить ещё и крайне неоднородную/неустойчивую динамику там, где концентрации заразчиков, наоборот, вдруг подскакивают выше какого-то уровня. Решения уравнения Í=δI2 в области высоких концентраций "взрываются" за конечное время: в отличие от экспоненты, которая мрачно и упёрто растёт, оставаясь при этом конечной, решения квадратичного уравнения обращаются в бесконечность довольно быстро. Конечно, в бесконечность никто не верит, - но "взрыв" есть взрыв. Не исключено, что это примерно то, что мы видим в отдельных небольших деревнях и сёлах, где всего одна случайная флуктуация (Пурим в Эфрате, Песах в Нетивот) выкинула состояние из "потихоньку, с божьей помощью, выбираемся" в "гевалт, из дома не выйти".
Как всегда, мои уши на гвоздях внимания, алкая критики или наоборот.
♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.
А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!
← Ctrl ← Alt
Ctrl → Alt →
← Ctrl ← Alt
Ctrl → Alt →