{а}дон Хахам (xaxam) wrote,
{а}дон Хахам
xaxam

Categories:

Нет когомофобии!

Гомо и когомо

Я миллион лет кормил читателей ХВ обещаниями рассказать, что такое гомологии и когомологии, кому они нужны, а кому нет. Сразу дисклэймер: большинство "технарей", читающих нашу семейную газету - программисты, и они слышали, что из этих -логий выросла т.н. "гомологическая алгебра", а из неё, - теория категорий (сначала простых, потом высших и производных, и наконец последний писк моды - инфинити-категории). Якобы эти категории позволяют взглянуть на логику программирования с очень правильной точки зрения. Так вот, ничего про эти логические вещи я не знаю, а рассказывать буду "от сохи", про то, откуда ноги растут.

Немного синтаксиса

Термин (ко)гомология не обозначает предмет или объект. Это не матрица, не функция и не интеграл. (Ко)гомология синтаксически однородна со словами "симметрия", "подобие", "духовное сродство". Гораздо чаще мы пользуемся термином "(ко)гомологичный", говоря, что А когомологично В (вариант: когомологически эквивалентно). Классы (ко)гомологичных объектов ("когомологии" в просторечии) обладают разными дополнительными свойствами (скажем, их можно перемножать), тогда мы говорим о "(ко)гомологических группах" или "группах когомологий". Но это всё потом, потом. Пока "(ко)гомология" = "сходство".

Немного истории: откуда всё взялось

Исторически гомологии, видимо, открыл Пуанкаре в конце 19 века, в поисках ответа на извечный вопрос "как описать геометрические формы алгебраическими словами". В простейшей своей форме этот вопрос выглядит так. Мы смотрим на карту архипелага и задаёмся вопросом: сколько там островов? На такой дурацкий вопрос и отвечать-то неловко, скажут одни: возьми да посчитай. Но при более близком рассмотрении вопроса могут появиться проблемы ещё более нелепые: а что такое остров? Наивный ответ: остров - это множество всех точек, куда можно добраться пешком из какой-то одной точки, не замочив ног. А если из точки А в точку В нельзя дойти пешком - значит, они на разных островах. В качестве первого приближения удовлетворительно, но чувство недосказанности остаётся: а если в прилив нельзя дойти, а в отлив можно? а если по дороге надо перепрыгнуть через канаву, заполненную водой? Является ли каждый камень на берегу, торчащий из воды, островом?

А теперь представьте себе, что вам задают вопрос, - что будет, если из булочки с изюмом изюм внезапно исчез, оставив после себя дырки в тесте. Какими словами можно описать, как одна конфигурация дырок отличается от другой? Хорошо, если каждая дырка получилась на месте шарообразной изюмины, а если вдруг пекарь замесил в тесто кружок апельсиновой кожуры, - дырка, оставшаяся после его исчезновения, совсем не похожа на дырку от изюмины. А мы хотим всё знать.

Вопросы эти отнюдь не только пекарям да географам интересны. Химики, синтезирующие сложные органические (и не только) молекулы, вполне ощущают, как пространственная сложность этих молекул влияет на свойства самих веществ (и физические, и химические).

В середине-конце 19 века математики обнаружили целый зоопарк монстров в геометрии. Очевидно, что в отношении самых уродских из них любая формулировка понятия "острова" (связной компоненты) или "дырки" натыкается на проблемы. Значит, в довершение к содержательным проблемам (как назвать вещи своими именами) нужно отделить агнцев от козлищ. С агнцами мы будем работать, а козлища пусть лесом идут (пока до них черёд не дойдёт).

Ну, и как всё это делается?

А делается это, смешным образом, при помощи выписывания систем линейных (алгебраических, в основном однородных) линейных уравнений. Да-да, тех самых, которые на первом курсе учили. Каждая такая система задаётся матрицей А своих коэффициентов А=(aij), и имеет вид

a11x1+a12x2+...+a1nxn=0,
...
am1x1+am2x2+...+amnxn=0.

Все привыкли, готовясь к экзамену, решать задачи, когда матрица А имеет сравнительно небольшой размер, скажем, 3х5, и заполнена абы как подобранными числами. Для квадратных матриц - своя отдельная премудрость, для симметричных - своя...

В теории (ко)гомологий своя специфика. Во-первых, числа n,m очень большие. Во вторых, коэффициенты aij почти все равны нулю, кроме буквально считанных из них, которые равны +1 или -1. А главное, - вся содержательная часть задачи спрятана в "комбинаторике" этих самых индексов: даже если вы нарисуете гигантскую матрицу и отметите там красными и синими точками ненулевые коэффициенты, никаких способов угадать, какой геометрической форме эта матрица соответствует, нет (ср. пример Аврома-часовщика).

Но такое описание, будучи абсолютно верным, совершенно бесполезно (из серии "у мене внутре неонка"). Красота теории - в том, как именно выписываются уравнения и что означает их разрешимость или неразрешимость. Как всегда, надо начинать с поучительных примеров.

Мальчик склеил в клубе модель©

Начнём с "простейшего" класса геометрических форм, - многогранников (слово "простейшие" надо понимать так же, как понимают его биологи, - там такое разнообразие и столько всего непонятного, что сам чёрт ногу сломит). Что это такое? Ну, грубо говоря, всё, что можно склеить из бумажных треугольников разных размерностей.

Треугольник размерности 0 - конечно, точка. Треугольник размерности 1 - (замкнутый) отрезок. Треугольник размерности 2 - обычный треугольник на плоскости, не вырождающийся в объединение отрезков (т.е., с непустой внутренностью). Треугольник размерности 3 - тетраэдр (сторожилы помнят, как в таких пакетиках продавали молоко в позднем СССР), но только он не обязан быть "правильным", - разные рёбра могут иметь разную длину. Характерное свойство n-мерного треугольника ("симплекса") - его грани, рёбра и т.д. все являются симплексами меньших размерностей, вплоть до верших (точек).

Сами по себе симплексы - не слишком-то интересные ребята. Но из них можно клеить более сложные многогранники. Что значит "клеить"? - первый небольшой подвох. Казалось бы, есть определение объединения множеств, - чем не склейка? Но это не то то, что нам надо, потому что пересечение склеиваемых множеств мы тоже хотим контролировать. Склейка двух симплексов - это такое их объединение, при котором общей является целиком одна грань произвольной размерности. Два пакета с молоком можно склеить вдоль общей грани, общего ребра и общей вершины, но никак не иначе. А если мы хотим к результату предыдущих склеек приклеить новый симплекс, - то склеивать можно уже вдоль нескольких граней (разной размерности), но каждая грань должна либо целиком мазаться клеем, либо оставаться в стороне. Правило не слишком замысловатое, но позволяет нам не перемазаться в клею по уши и всегда получать в качестве результата многогранник (хотя, возможно, и уже невыпуклый). Имеющие опыт игры в ЛЕГО поймут принцип без большого труда (только в классическом ЛЕГО вместо симплексов - кирпичики, но это не очень принципиально).

Плюсы и минусы

Каждую такую склеенную модель (многогранник, "симплициальный комплекс" по-нашему) можно, конечно, описать, ведя лабораторный журнал. Взяли то-то, приклеили вдоль такого-то ребра, потом вдоль такой-то грани и т.д. Имея журнал в руках, каждый может повторить (уже хорошо, хотя есть нюансы: например, чтобы "заклеить дырку", надо подобрать "пробку" со вполне определёнными длинами рёбер и формой граней, о чём надо позаботиться заранее, но мы считаем, что в журнал записываются все детали процесса). Но такое описание результата будет излишне многословным. Представьте себе, что вам надо описать, как склеивается дверной косяк (рама). Надо каждый из четырёх брусов склеить отдельно, а потом склеить их вместе, но сначала "обрезать" их под углом в 45 градусов, чтоб склеивать целыми гранями. Понятно, что оно сильно не единственно, а кроме того (мы ещё об этом не сказали, но намекнули): нам несущественно, что дверная рама прямоугольна! нам хотелось бы, чтобы мы могли обклеить надутую велокамеру маленькими плоскими треугольничками, и она оказалсь бы похожей на дверную раму.

А у нас амбициозная цель: записать результат в виде два конца, два кольца, а посередине дырка "три вершины, два ребра, 77 треугольников и 1 пакет". Слабо?

Возьмите квадрат и проведите в нём диагональ. Она разобъёт вам квадрат на 2 треугольника. К=2Т+4Р+4В. Но ведь у двух треугольников - 6Р, не так ли? так, но два вдоль диагонали "сократились", взаимно уничтожив друг друга. Точно такой же результат вы получите, проведя другую диагональ: треугольники будут другие, сократится другая пара рёбер, а результат будет тем же.

А теперь представьте, что вам дана сила гнуть отрезки. Тогда две последовательных стороны квадрата и вершину в углу можно считать одним изогнутым отрезком без вершины "в середине". Новое тождество: К=2Т+3Р+3В. Ещё раз прогнём под себя изменчивый мир, добавив две другие стороны: К = 2Т+1Р+1В. Наконец (гнуть так гнуть!) внутренность квадрата можно, приложив умеренную силу, сделать внутренностью треугольника, получим К=Т+Р+В. А вот последнюю вершину "сократить" не удастся: все четыре стороны квадрата вместе образуют замкнутую ломаную, которая если на что и похожа, так на окружность.

Но всё равно херня получается, как ни посмотри. Во-первых, то гнуть, то не гнуть, - кто это будет мандат выписывать? Во-вторых, как ни крути, алгебра какая-то б...ская получается, за такие "тождественные преобразования" любая училка убьёт, не разбираясь, и права будет.

Потому что на самом деле то, что мы клеили из бумажных треугольников, - на самом деле мы клеили из ориентированных треугольников. А ориентация - это в наше время всё. Правда, математика отстаёт от жизни: там бывает всего две ориентации, зато полностью равноправных, - кто тебе папа, а кто мама - договаривайтесь сами, главное, чтоб семья разнополая была.

Аккуратное определение ориентации - на самом деле не очень сложная, но занудная штука, связана с тем, n-мерное пространство допускает ориентацию. Мы не в состоянии сказать, какую, - мы в состоянии лишь сказать, что "я" и "я в зеркале" - разноориентированные фигуры, а если я встану на голову, повернусь к зеркалу спиной или лягу на пол - я останусь самим собой. (Формально линейное преобразование пространства сохраняет ориентацию, если определитель его матрицы положителен, и меняет, если отрицателен).

Пока желающие делают гимнастику перед зеркалом (почему, кстати, оно меняет местами право и лево, а не верх и низ? ϾѠϿ ), тем, кому не терпится схватить гомологию за хвост - практические рекомендации, как определять ориентацию.

- Ориентированная точка: точка со знаком, + или -.
- Ориентированный 1-симплекс: отрезок, у которого указано, где начало, а где конец.
- Ориентированный 2-симплекс: треугольник в плоскости с указанным направлением обхода вдоль границы (по или против часовой стрелки).
- Ориентированный 3-симплекс: пакет молока, грани которого ориентированы (см. выше) согласованным образом. Что это значит? если мы - выбрали ориентацию (направление обхода) одной из 4 треугольных граней, то тем самым выбрали ориентацию 3 из 6 ребёр. Ориентация остальных трёх ребёр, позволяющая обойти соответствующие грани без "выхода на встречку", получается автоматически.
- И т.д.
После того, что мы обнаружили существование ориентации, мир обретает утраченную было простоту и понятность. При склеивании надо суммировать треугольники разных размерностей, помня про их ориентацию. К примеру, возьмём произвольный 2-треугольник (на плоскости) и разрежем его на призвольное количество маленьких треугольников, соблюдая всего лишь правило склейки. Тогда окажется, что треугольник равен сумме маленьких 2-треугольничков + три отрезка на границе (все внутренние линии разреза сократятся друг с другом за счёт выбора ориентации) + 3 исходные вершины (все вершины внутри тоже исчезнут при правильном подсчёте). На самом деле и 3 исходные вершины тоже исчезнут: каждая из них при обходе границы треугольника будет началом одного отрезка и концом другого; при первом подсчёте она получит знак +, при втором -, в сумме будет нуль. Кр-р-расота!

Специально для тех, кто всегда думает, как ahmash, что их наёбывают. Это не трюк, не схоластическое упражнение, не извлечение следствий из формулы 0=0. Возможность приписать знаки (и кратности) треугольникам и более сложным объектам, склеенным из них, - весьма нетривиальное свойство нашего мира. Если бы выяснилось, что наблюдаемая Вселенная похожа на лист Мёбиуса или бутылку Клейна - наша картина мира серьёзно усложнилась бы, по крайней мере на космических масштабах.

Погранстража

Рассуждая об ориентации, мы "тихой сапой" ввели в оборот понятие границы. Что такое граница и как её (не) перейти, - у каждого свой опыт. В математике есть своё собственное определение границы множества в пространстве (это точки, которые находятся на нулевом расстоянии и от множества, и от его дополнения), но оно обладает всеми качествами математических понятий. В относительно простых ситуациях оно совпадает с тем, что вы ожидаете получить, но в экзотических и патологических ситуациях могут проявиться самые разные эффекты. Скажем, граница канторова множества на отрезке - оно само. Но и с отрезком есть некая проблема: граница отрезка на прямой - две точки, а если отрезок лежит на плоскости или в 3Д-пространстве, то все его точки - граничные.

Мы сейчас будем иметь в виду границу ориентированных симплексов-треугольников. Собственно, мы уже её дали:
- Граница точки - пустое множество
- Граница 1-симплекса - пара точек (концов),
- Граница 2-симплекса (треугольника) - три отрезка, соединяющих его вершины,
- Граница 3-симплекса (пакета с молоком) - 4 треугольника (грани),
- И т.д.
Во всех случаях ориентация определяется, как объяснено выше. А если вы взяли симплекс с противоположной ориентацией, то и ориентацию границы надо поменять на противоположную.

Что мы можем сказать про понятие границы, введённое таким образом? Довольно много.
  1. Граница многогранника может быть определена как "сумма ориентированных границ" (со знаком) симплексов, из которых он склеен.
  2. Если мы склеиваем (по правилам) два многогранника, то эта аддитивность сохраняется.
  3. Если мы меняем ориентацию, то и граница меняет ориентацию.
  4. Граница имеет размерность на единицу меньше.
  5. Граница границы равна нулю (пустому множеству: всё сократится).

Последнее утверждение выглядит несколько парадоксально, но неизбежно следует из нашей конвенции. В самом деле, если мы возьмём (выпуклый) многоугольник на плоскости, то его границей будет ориентированная ломаная, состоящая из отдельных рёбер. Граница каждого ребра - две соседних вершины, одна с плюсом, другая с минусом. После того, как мы всё просуммируем, все вершины сократятся. Всё "спрятано" в определении ориентации: если два 2-треугольника склеены по общему ребру, то это ребро в определении границы считается дважды, с противоположными ориентациями.

Исчисление

Давайте же передохнём и оглянемся назад, чего у нас получилось.

Мы ввели "категорию" (ну ладно, без церемоний, - можно по-домашнему - "зоопарк") многогранников, которые можно получить из "треугольников" разных размерностей при помощи склеивания. Зоопарк, конечно, небогатый (там пока нет ни сферы, ни тора, ни даже окружности), но всё же и не уныло-тривиальный (окружности нет, а замкнутая выпуклая 2019-звенная ломаная есть, поди-ка отличи).

Звери наши имеют (в отличие от людей) чётко фиксированную ориентацию, которая меняется на противоположную при отражении в зеркале.

Для описания зверей в этом зоопарке мы пользуемся странными формулами вида ∑α nα Tα с целыми, но не обязательно положительными коэффициентами nα. Суммирование формально распространено на все мыслимые симплексы всех размерностей (их громадное количество), но мы всегда предполагаем, что сумма конечна, т.е., все, кроме конечного числа коэффициентов, равны нулю и бояться нечего. Если в такой сумме все треугольники имеют одну и ту же размерность, такие суммы мы назовём цепями: их отличие от многогранников состоит в том, что мы в этот момент можем расслабиться и забыть про условия склеивания, хотя геометрически осмысленные результаты будут только для цепей, соответствующих правильно склеенным многогранникам. Смену ориентации цепи мы обозначаем умножением на минус единицу.

На множестве цепей есть корректно определённая операция гранирования (взятия границы) ∂. Она обладает следующими свойствами:
  1. ∂ линейна, ∂(-c)=-∂c
  2. ∂ уменьшает размерность цепи на единицу: если мы обозначим Zn цепи размерности n, то ∂:Zn→Zn-1
  3. ∂∂=0.

Самое время ввести, наконец, геометрические определения.
Цикл ("
замкнутая цепь", цепь без границы): цепь без границы, ∂c=0.
Граница: граница, цепь c, которая является границей какой-нибудь цепи c=∂b.

Вспомним архипелаг, с которого мы начали. Два столба, вбитых на одном острове - граница: мы можем натянуть 1-цепь, начинающуюся у одного столба, и кончающуюся у другого. Два столба, вбитых на разных островах - таки не граница (если не разрешать проводить цепь по воде).

Замкнутая непересекающаяся ломаная на плоскости - граница (и своей внутренней части, и своей внешней части). Если вы нарисуете замкнутую ломаную на поверхности велокамеры, то она может не быть границей (подумайте, почему).

И вот мы почти у цели: как писать системы линейных уравнений

Согласно последнему свойству граничного оператора, всякая граница есть цикл (граница границы нулевая). А наоборот верно?

У нас есть цикл, цепь, граница которой равна нулю, ∂c=0. Обязан ли он быть границей? запишем условия задачи в виде линейных уравнений, связывающих неизвестные нам пока треугольники. Запишем ответ в виде разрешимости (другой) системы линейных уравнений, ∂b=c. Вопрос: верно ли, что одна система влечёт другую? Верно ли, что одно линейное подпространство совпадает с другим, или "сидит" внутри?

Ответ. Если мы рассматриваем только циклы, возникшие из многогранников в евклидовом пространстве (и разрешаем заклеивать дыры, выходя за пределы изначального многогранника), - то да. Уж больно оно простое, наше пространство. Но если мы наложим на себя епитимью, чтобы все треугольники были непременно частью многогранника - тады ой. Пример дверного косяка (он же велокамера) вам в руки, если хотите руками что-нибудь попробовать.


Предварительная мораль

Ну, придумали мы некое "исчисление"-перечисление кусков-обрезков. Вроде бы банальность на банальности, однако ж мы обнаружили способ различать (некоторые) многогранники, скажем, поверхность (или внутренность) куба от поверхности (или внутренности) дверной рамы, основанный чиста канкретна на подсчётах того, как треугольнички нашего "треугольного ЛЕГО" подклеены друг к другу. Бухгалтеры, озабоченные сведением баланса, первыми заценят.

Что же такое эта гомология, возвращаясь к теме поста? да теперь всё просто. Два "дозволенных" под-многогранника гомологичны, если их разность - честная граница. Гомологичный нулю = гомологичный точке. Я вам многогранник, - а вы мне в личку список всех его частей, не гомологичных друг другу, но исчерпывающих все возможные гомологические классы.

А я пока прерву дозволенные речи, продолжение следует. Всем чмоки в этом чате. Очень жду реакции слушателей, - не перешла ли байка в заумь. Я на подобные сюжеты пока не замахивался, очкую что-то.

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже comment count unavailable таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!

Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 61 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →